略さずcolumnでも良いと思いました。

step += step_counter[x]というyを使わない計算にy > 0という条件が必要な理由がわかりませんでした。なくても良さそうにみえます。

xは1から始まるのでif (x > 0)は不要に見えます。

インクリメントの変数にy, xを使っているのがわかりにくいと感じました。（しかも行を表す1つ目がy, 列を表す2つ目がxなのも読みにくさを増やしていそうです。）

2D matrixのインデックスにはrow, colやi, jを使うことをおすすめします。自分はrow, colが最もわかりやすいと感じます。

これでいいかなと思います：

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<int> step_counter(n, 1);
        for (int row = 1; row < m; ++row) {
            for(int col = 1; col < n; ++col) {
                step_counter[col] += step_counter[col - 1];
            }
        }
        return step_counter.back();
    }
};

これはあえて書かなくても読めるだろうと感じました。
下のif2つはどのみちif-continueでもif-elseでもないため条件を同時に読む必要があるからです。（下2つのifを同時に読むとrow == 0かつcol == 0のとき何もしないことは自然と読み取れます。）

grid という変数名ですと、 grid の要素が何を表すのか分かりにくく感じました。自分なら num_paths と付けると思います。

= の両脇にスペースを空けることをお勧めいたします。

if のあとにスペースを空けることをお勧めいたします。

for の後にスペースを空けることをお勧めいたします。

格納されているものは経路の個数であり、ステップの個数ではないため、 step_counter と名付けるのは不自然に感じました。

return grid.back().back(); の方が読み手にとってわかりやすいかなと思います。

個人の趣味ですが、grid.front().front() = 1; の方がより意図が明確になってよいかなと思います。